Stochastic Integration with respect to Gaussian Processes

We construct a Stratonovitch-Skorohod-like stochastic integral for general Gaussian processes. We study its sample-paths regularity and one of its numerical approximating schemes. We also analyze the way it is transformed by an absolutely continuous change of probability and we give an Itô formula. c 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS Intégrale stochastique pour les processus gaussiens Résumé. Nous construisons une intégrale stochastique du type Stratonovitch-Skorohod, pour les processus gaussiens généraux. Nous montrons qu’elle peut être approchée par des sommes de type Stratonovitch et nous établissons sa régularité trajectorielle. Nous étudions aussi la façon dont elle se transforme lors d’un changement absolument continu de probabilité. Nous montrons enfin que la formule d’Itô-Stratonovitch est vérifiée. c 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS Version française abrégée De nombreux auteurs se sont attachés à construire les fondements d’un calcul stochastique pour le mouvement brownien fractionnaire. Les diverses approches peuvent être séparées en deux principales catégories : celles qui reposent sur les propriétés trajectorielles de ce processus [7, 8, 16] (notamment la continuité au sens de Hölder de ses trajectoires) et celles qui utilisent sur son caractère gaussien. Ces dernières sont basées sur la représentation où est un noyau déterministe. L’expérience des calculs faits pour le mouvement brownien fractionnaire montre qu’il est ardu de travailler directement avec des hypothèses sur le noyau mais qu’il est plus aisé et plus informartif de travailler avec les propriétés de l’opérateur intégral canoniquement associé à ce noyau. Pour un noyau déterministe qui satisfait l’hypothèse I (voir plus bas), on considère le processus ! " . Compte-tenu des résultats de [4], on sait que a une version à trajectoires p.s. continues. Par conséquent, l’espace de Wiener sur lequel nous travaillons, est #$ $% " & '( *)*+-, ./ 0 l’espace de CameronMartin est 21 34 & '( *)*+5 et 6 est la probabilité sur # qui fait du processus canonique, un processus Note présentée par S0764-4442(00)0????-?/FLA c 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés. 1 Intégrale stochastique pour les processus gaussiens gaussien de même loi que Compte-tenu des résultats antérieurs obtenus sur le mouvement brownien fractionnaire, une définition raisonnable de l’intégrale stochastique de par rapport à est " 4 est ici l’adjoint dans 1 3 & '( +5 Ceci exige que appartienne au domaine de et que soit p.s. un opérateur à trace. On définit ensuite une intégrale de type Stratonovitch par limite de sommes discrètes qui coïncide avec la précédente lorsque est nucléaire, mais qui possède un domaine plus facile à caractériser. On peut aussi, grâce aux inégalités de Meyer, établir les hypothèses sur l’intégrand sous lesquelles on a une inégalité maximale pour la partie divergence, voir les théorèmes 3.2 et 3.1. Les formules de composition des intégrales stochastiques par un shift absolument continu de l’espace de Wiener, montrent que la première de ces intégrales se transforme formellement comme une semi-martingale lors d’un changement de probabilité absolument continue, voir le théorème 4.1. Pour terminer, nous établissons la formule d’Itô-Stratonovitch.